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怎样用数学听懂交响乐

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在欣赏交响乐时,我们都能听到由不同乐器和音高的声音混合产生的优美的音响效果。如果对交响乐比较熟悉,就可以听出这种混音的组成部分,比如某段音乐是由小提琴和双簧管组合演奏而成。这种声音的混合与分解构成了音乐中的一个重要部分。


在数学中,也存在着这样的混合与分解。法国数学家傅里叶在他的著作《热的解析理论》中,给出了将一个函数分解为诸多个正弦函数和余弦函数的方法——傅里叶变换。有了傅里叶变换,我们就可以将自然界中的许多复杂现象分解为一系列简单现象,在复杂的表象下发现简洁的本质。


我们都知道,声音是由物体振动产生的。而这种振动近似简谐运动,因此可以用正弦函数(或余弦函数)表示。根据傅里叶的理论,交响乐的和声效果可以看作是许多不同频率正弦波的叠加。我们的大脑在处理这些声音信号的时候,就在进行着类似傅里叶变换的工作:将表示声波振动的函数分解为许多不同频率的正弦函数——相当于将一段声音分解为许多单一频率的声音。而频率不同的声音,它们的特征是各不相同的。因此,大脑就可以在这种声音的分解之后,根据声音的不同频率,分辨出不同特征、来源的声音。现在的主动降噪耳机,就是利用傅里叶变换,先将环境噪音分解成不同频率的声波,再发出对应频率相同、相位不同的声音,用相消干涉的方式抵消噪音,实现主动降噪。


上述对声音所进行的傅里叶变换,在工程中叫做“从时域到频域”的变换。“时域”指一个物理量(如声音的响度)在时间上的变化,也就是将声音y理解为时间t的函数,即y=F(t);类似地,“频域”可以理解为物理量(如响度)在不同频率上的分布状况,即把声音y理解为频率f的函数y=F(f)。在很多领域中,不仅会使用傅里叶变换,也会用到傅里叶逆变换——从频域到时域的转换。傅里叶变换及其逆变换成对使用。许多物理信号在时域上的表示是复杂的,但在频域上非常简洁,这就为进一步处理这些信号提供了方便。


例如,在数字电路中,常用到方波来表示电平(电压的相对大小)的高低,而利用傅里叶变换,可以用无穷多个正弦曲线之和来拟合方波的图形。在电子行业中常用的数字示波器,就是应用了这一原理。此外,可以利用傅里叶变换对信号进行降噪。考虑到噪音信号的频率一般较高,可以先对信号进行傅里叶变换,在频域中去除噪音所在的高频成分,再通过傅里叶逆变换,得到降噪后的信号。


在现在手机应用中常见的“美颜”功能,也利用了傅里叶变换。数字图像中颜色变化较剧烈的区域(如皮肤上不光滑、光泽不均匀的部分)属于高频成分,而颜色变化缓和的属于低频成分。在进行美颜时,先对人脸部分的图像进行傅里叶变换,去除频域中的高频部分,再用逆变换,便可以得到一幅皮肤光滑、色彩均匀的人像。


我们不妨试想:整个世界是一首用数学作为音符的壮丽无比的交响曲;而傅里叶变换,就是帮助我们听懂这首交响曲的工具之一。